En respuesta a la cuestión planteada el pasado 18 de enero en este blog acerca de una de las paradojas de Zenón a las que da respuesta Aristóteles, reproduzco un fragmento de la fundamental obra Los Filósofos Presocráticos que le debemos a G. S. Kirk, J.E. Raven y M. Schofield y que podéis encontrar en la editorial Gredos:
“La exposición aristotélica de este rompecabezas (conocido, a veces, como la Dicotomía) es breve y alusiva en extremo. […] Pero podemos extraer la siguiente argumentación [del planteamiento de Zenón]:
(1) Para alcanzar la meta, el corredor debe alcanzar infinitos puntos ordenados en la secuencia 1/2, 1/4, 1/8…
(2) Es imposible alcanzar infinitos puntos en un tiempo finito, por tanto
(3) El corredor no puede alcanzar su meta.
Aristóteles cree que podemos oponernos fácilmente a la conclusión absurda (3) rechazando (2): un tiempo finito es infinitamente divisible y un tiempo infinitamente divisible es suficiente para que el corredor recorra una distancia infinitamente divisible y alcance los puntos que señalan sus divisiones.
Aristóteles manifiesta en otro lugar […] un cambio de réplica. La solución anterior […] procura una adecuada respuesta “ad hominem” a Zenón. Pero (2) resulta más fácilmente rechazable, si se le reformula así:
(2’) Es imposible conseguir el objetivo de alcanzar infinitos puntos.
Aristóteles responde a la reformulación del argumento con la observación de que (2’) sería verdad sólo si “infinitos puntos” quisiera decir “infinitos puntos realmente existentes”; cree, sin duda, que, en ese caso, sería verdad, porque cree que sería imposible llevar a cabo un infinito número de actos físicos discretos con el valor de “contacto” o “entrar en contacto con” cada uno de una real infinitud de puntos. Pero de hecho supone Aristóteles una interpretación más débil de “puntos infinitos” es exigida por (1): el corredor debe recorrer una distancia finita dividida por una infinitud de puntos, cuya existencia es sólo potencial (i.e., una distancia, podríamos decir, que puede simplemente representarse, al modo matemático, dividida según las series infinitas 1/2, 1/4, 1/8…). Y si se adopta esta lectura más débil en (2’), (2’) es falso.
La segunda solución de Aristóteles ilumina las cuestiones fundamentales que suscita la paradoja y que siguen siendo aún objeto de debate interno e inconcluso. En particular, los filósofos no pueden determinar si la imposibilidad de completar la serie de un número infinito de actos físicos discretos (si realmente es imposible) es una imposibilidad lógica o meramente física, ni en qué consiste en cualquiera de los dos casos”.
G. S. Kirk, J.E. Raven y M. Schofield; Los Filósofos Presocráticos, ed. Gredos, páginas 387-9)
“La exposición aristotélica de este rompecabezas (conocido, a veces, como la Dicotomía) es breve y alusiva en extremo. […] Pero podemos extraer la siguiente argumentación [del planteamiento de Zenón]:
(1) Para alcanzar la meta, el corredor debe alcanzar infinitos puntos ordenados en la secuencia 1/2, 1/4, 1/8…
(2) Es imposible alcanzar infinitos puntos en un tiempo finito, por tanto
(3) El corredor no puede alcanzar su meta.
Aristóteles cree que podemos oponernos fácilmente a la conclusión absurda (3) rechazando (2): un tiempo finito es infinitamente divisible y un tiempo infinitamente divisible es suficiente para que el corredor recorra una distancia infinitamente divisible y alcance los puntos que señalan sus divisiones.
Aristóteles manifiesta en otro lugar […] un cambio de réplica. La solución anterior […] procura una adecuada respuesta “ad hominem” a Zenón. Pero (2) resulta más fácilmente rechazable, si se le reformula así:
(2’) Es imposible conseguir el objetivo de alcanzar infinitos puntos.
Aristóteles responde a la reformulación del argumento con la observación de que (2’) sería verdad sólo si “infinitos puntos” quisiera decir “infinitos puntos realmente existentes”; cree, sin duda, que, en ese caso, sería verdad, porque cree que sería imposible llevar a cabo un infinito número de actos físicos discretos con el valor de “contacto” o “entrar en contacto con” cada uno de una real infinitud de puntos. Pero de hecho supone Aristóteles una interpretación más débil de “puntos infinitos” es exigida por (1): el corredor debe recorrer una distancia finita dividida por una infinitud de puntos, cuya existencia es sólo potencial (i.e., una distancia, podríamos decir, que puede simplemente representarse, al modo matemático, dividida según las series infinitas 1/2, 1/4, 1/8…). Y si se adopta esta lectura más débil en (2’), (2’) es falso.
La segunda solución de Aristóteles ilumina las cuestiones fundamentales que suscita la paradoja y que siguen siendo aún objeto de debate interno e inconcluso. En particular, los filósofos no pueden determinar si la imposibilidad de completar la serie de un número infinito de actos físicos discretos (si realmente es imposible) es una imposibilidad lógica o meramente física, ni en qué consiste en cualquiera de los dos casos”.
G. S. Kirk, J.E. Raven y M. Schofield; Los Filósofos Presocráticos, ed. Gredos, páginas 387-9)
A mi me gustan más las series geométricas.
ResponderEliminarUna serie geométrica es una serie("suma de infinitos términos") en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón.
La paradoja de Zenón se resuelve utilizando el siguiente resultado:
"En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1"
Así que como nuestra serie geométrica es de razón 1/2, es convergente y además tiene como suma 1, con lo cual se recorrerá todo el trayecto sin problemas y no existe tal paradoja en el mundo matemático.
La demostración en el aula de mates, aunque muy interesantes los recursos de Aristóteles.
no entendi nada
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